Топос. Литературно-философский журнал.
Для печати

Вернуться к обычной версии статьи

Онтологические прогулки

Русская философия.
Совершенная математика 14

Малек Яфаров (28/07/09)

Размышление показывает мне, что к любой современной науке необходимо подходить очень внимательно, тщательно отделяя то, что является важным и существенным для современного человека как целостности, от того, что взяло на себя роль определяющего признака человеческой природы – вещности, то есть предметности, принимаемой человеком за единственный модус бытия.

То, каким образом это осуществляется в классической и современной философии, было рассмотрено раньше – в «Помойном ведре философии», но всё равно для меня оказалось несколько неожиданным то, что и в математике положение дел точно такое же, как в философии. Разница только в том, что большинство, как специалистов, так и просто людей, не замечают, насколько их жизнь определяется тем, что разработано в философии: люди считают, что математика широко проникла практически во все области человеческой жизни, тогда как философия – лишь в несколькие и далеко не определяющие.

Приятное, может быть, но совершенно ошибочное представление: человек «пропитан» философией ничуть не меньше, чем математикой, если же учесть тот факт, что математику как науку основали и развивали философы, то можно достаточно уверенно констатировать, что философия определяет (формирует) современного человека намного более всесторонне, чем любая наука, математика – в том числе.

Далее, размышление показало, что математика возникла и развивается в основном и по преимуществу на практических основаниях, которые представляют собой опредмеченное внимание современного человека. При условии рассмотрения предметного внимания как единственного основания человеческой деятельности, оно превращается в критерий, эталон и цель любой другой деятельности человека; именно таким образом мышление современного человека с самого начала своего возникновения было практически полностью ориентировано на наличную математическую практику как единственно возможную.

Это предопределило её практический (операциональный) характер, а именно: всё, что уже было в наличии, например, древняя система обозначений, и всё, что только можно было получить посредством манипулирования ею, признавалось математикой. При этом вскоре встал вопрос о границах математики и способах определения, относится ли нечто как результат манипуляций (термин «манипуляция» я употребляя не потому, что критикую математику, а потому, что его значение – действие с тем, что не ты сам) к математике или нет.

Так появилось требование доказательства достоверности некоторого утверждения, или его непротиворечивости и пр., то есть так появилась теория как осмысление наличной практики; соответственно, теория ценилась только в том случае, если она тем или иным образом «помогала» практике, например, систематизировала и унифицировала терминологию, обозначение и пр.

Это широкая, в античности просто протоптанная, потом вымощенная камнем в новое время и, наконец, заасфальтированная сегодня – прагматизмом, дорога современной математики.

Но существует гораздо более узкая, но действительная, настоящая, целостная, совершенная математика, для которой опредмеченность человека представляет собой лишь одну из сторон жизни человека, а не его единственную и определяющую особенность.

Эта математика возникла также в античности и как реакция на стремительно расширяющийся прагматизм (особенно это проявляется у Пифагора), и как реализация возможности другого направления внимания и, соответственно, другого типа бытия.

Так ко времени «Начал» Евклида обе тенденции математики уже были вполне развиты, и, в принципе, тенденция теории была бы полностью обречена на полное вымирание, если бы не одно важное обстоятельство: достаточно быстро исчерпав внутренние ресурсы, практика могла соответствовать ставящимся перед ней задачам только посредством определённого расширения своих возможностей, а они-то как раз формируются в теории, то есть там, где вообще происходит всякое формирование – в стихии становления; только поэтому теоретическая математика всё ещё скорее жива, чем мертва.

Рассмотрение начал арифметики как науки о числе и геометрии как науки о точке показало, что уже ко времени Евклида нескоординированность основных элементов математики с практикой их употребления задало её развитию тенденцию «вынужденного сожительства», в котором всё, что могла, определяла и до сих пор определяет практика, а в том, чего не могла практика, определяла теория, которая, в свою очередь, не то, чтобы не могла развиваться совершенно самостоятельно, сколько не очень-то хотела, чувствуя, что ею манипулируют.

Практика не могла определить свои начала и принципы развития потому, что ей это и не надо, пока получается, и снова становится не надо, когда снова начинает получаться; в небольшие же промежутки между этими «не надо» практика слезала с насиженной спины теории, позволяя той немного расправить плечи и заглянуть чуть дальше обычного, тут же усаживаясь обратно и ещё больше прижимая теорию к земле своего интереса.

Сама математика считает, что она возникла из счёта, который, во-первых, «узаконивает» наличную систему обозначений как упорядоченную, и, во-вторых, позволяет расширять эту систему обозначений посредством построения различных вычислений.

На резонный вопрос философа:

- а почему до вас, господа, никто не считал?

современный математик, скромно потупившись, отвечал:

- это всё практические нужды: в Египте разливы Нила смывали границы участков плодородной земли; в Ассирии и Шумере никак не могли определиться, где же кончается их царство, и, следовательно, земля вообще; а в Греции зашли в тупик при попытке посчитать, сколько же у них мудрецов, если ни один из них ещё не познал самого себя.

- Но сами по себе задачи не содержат принципа своего решения, иначе они были бы уже решены.

- Да – математик уже смотрит прямо, – это наша заслуга: мы сообразили, что у нас на руке пять пальцев, и, перебирая каждый из них по очереди, мы получаем принцип, по которому можем решить все эти задачи.

- То есть вы стали считать только тогда, когда припёрло? А как же вы объясняете себе, что древние изобрели системы счёта: десятичные, дюжинные и пр., а считать при этом не умели?

- Ну, как-то умели, просто у них не было необходимости решения таких масштабных задач, – пытается выкрутиться математик.

- Так чем же вы отличаетесь от них, если пользуетесь той же самой древней системой? Почему они считали плохо, хотя при этом создали совершенную систему обозначений, а вы – хорошо, не создав при этом никакой своей системы, а пользуясь старой, созданной теми, кто считал намного хуже, чем вы; для решения своих масштабных проектов могли бы ввести свою собственную, например, пальцевую систему счёта?

- Да пальцы я упомянул только для примера, – наши вычисления сложные, их на пальцах не покажешь но мы модернизировали, развили старую систему! с помощью чисел мы стали считать, то есть вычислять большие количества предметов, например, камешков, когда решали, виновен Сократ или нет.

- Но числа древней системы и так показывают количество, число пять обозначает количество из пяти предметов, например, количество так любимых тобой пальцев одной руки. Зачем ещё что-то делать с числами, когда они и так уже показывают (обозначают) количество? Те же греки определили вину Сократа, не пересчитывая камешки по одному, а просто разложив их на равные кучки по семь в каждой, после чего легко и точно и без всякого счёта определили вину Сократа.

- Эта дрянная куча камней – не количество, возмущается математик, – количеством она становится только тогда, когда я их, каждый камешек за камешком, пересчитаю!

- Подожди, тогда при чём тут числа? Если ты считаешь каждый камешек за камешком, то у тебя есть только одно число – единица, а все остальные числа – просто множества нескольких единиц: два – это множество двух единиц, три – трёх, сто тысяч – ста тысяч единиц, так что все последующие числа представляют собой последовательность, строящуюся по принципу шагового увеличения на единицу. Соответственно, существует только одно число – единица и одна операция – увеличение на единицу, не так ли?

- Нет, подожди! Одно число, одна операция! А откуда взялась система вычислений: один, два, три и т.д., её же не мы придумали?

- Да, не вы; тот, кто придумал, не считал, а обозначал: каждому восприятию определённого количества предметов он давал соответствующее имя, например, семь, а для обозначения большего количества он использовал сочетание имён, например, тридцать семь; помню, мой дед рассказывал, что он однажды пас коз и в стаде в этот день оказалось как раз тридцать семь коз, а тридцать семь – очень зловещее число, поэтому в тот день при ясном небе гремел гром и сверкала молния, да ещё он потерял посох, так что тридцать семь точно для него зловещее число.

- А как же он узнал, что в стаде было тридцать семь коз, если не считал?

- Он легко воспринимал несколько десятков предметов, не прибегая ни к какому счёту, помнишь, как человек дождя – рейнмен – видел количество спичек, не считая, он просто видел; подобное явление не так уж редко. Здесь я могу добавить, что ребёнок тоже не считает, так как не может до подросткового возраста образовывать абстрактные понятия, то есть не может обращаться с предметами как абстрактными единицами, и только после того, как он пройдёт стадию образования «комплексных понятий» (по Выготскому), то есть стадию объединения предметов в одно множество по несущественным признакам, он может уже образовывать действительные понятия, в том числе и числа как множества однородных единиц, или просто единиц. Очень может быть, что современный человек практически всю свою жизнь в непосредственном восприятии предметов как количества использует оставленную ему в наследство способность непосредственного восприятия, а не счёт. Например, вы встречаетесь со своей семьёй на дне рождения бабушки, у которой есть приличное наследство, что обеспечивает полный состав родственников, за столом вы не пересчитываете их, вы просто видите, кто есть, а кого нет.

- Хорошо, уберём гром и молнии, бабушек с наследством, и остановимся на числах. Если единица – единственное число, то что такое ноль, дроби, число «пи» и пр.?

- Ноль первоначально был введён как переход от одного разряда обозначений к другому, показывая отсутствие единиц соответствующего разряда, например, в 100 правый нуль обозначает отсутствие единиц, левый – десятков; впоследствии ноль стал также обозначать результат вычислений, который показывал именно отсутствие единиц, то есть равенство сравниваемого, например, данного в долг и полученного как возвращение долга, то есть можно определить ноль и так – «пустое множество единиц», или как известный герой называл это «мёртвого осла уши» и «дыркой от бублика». Дроби, отрицательные числа, также как и ноль получены как результаты операций с числами, например, отрицательные числа представляют собой отсутствие некоторого количества, а дроби – соотношение чисел как множеств единиц, например, отношение множества двух единиц к множеству трёх единиц. Здесь мне вспоминается анекдот: в аудитории один преподаватель и два студента, когда из аудитории выходят пятеро, преподаватель говорит: если войдут двое, в аудитории никого не останется.

- Ты о чём?

- Я о том, с какой лёгкостью математики оперируют разнородными элементами как однородными, мало заботясь о том, что получится в результате, главное, чтобы его можно было записать в виде математического предложения, а при неконтролируемо расширенной системе обозначений, где любой полученный результат объявляется самостоятельным математическим элементом, записать математически можно практически всё, что угодно.</li>

- Ты забыл число «пи».

- С «пи» ситуация сложнее, чем с нулём, дробями и отрицательными числами, поскольку оно получено в результате вычислений на окружности, а окружность в геометрии Евклида введена не аксиоматически, а операционально; по крайней мере для меня это совершенно разные типы геометрического построения; поскольку же я не могу наглядность принимать за мышление, то далеко не всё, что видится очевидным, таковым и является; возможно, именно поэтому число «пи» и видится геометрам трансцендентным, то есть недоступным человеку и данным независимо от него. То есть они произвели трансцендирующую операцию, такую же, как умножение и деление на ноль, показывающие только то, что эти операции не имеют математического смысла, даже если их можно записать в виде математического вычисления; если я, например, умножу результат упомянутого выше возвращения долга, то есть отсутствие какой-либо величины на 4, то я с таким же успехом могу умножить мёртвого осла уши на 4.

- То есть ты полагаешь, что окружность не существует как геометрический предмет, если да, то с чем же мы работаем?

- В практике геометрии окружность существует, но что это такое сами геометры не знают.

- Как это не знают! Окружность есть множество точек, равноудалённых от центра.

- То есть окружность представляет собой множество равных отрезков, имеющих одну общую точку, называемую центром?

- Нет, множество точек!

- Как получено это множество?

- С помощью циркуля, или как в третьем постулате Евклида: вращением данной прямой вокруг одной из её точек.

- Да, это я знаю, но где критерий того, что любой возможный рисунок является геометрической фигурой, подобной, например, треугольнику? Евклид определил точку, прямую, плоскость, но окружность ввёл как действие, а что такое движение в геометрии, помнишь Зенона: как летит стрела в геометрии? Что такое движение в геометрии, если в каждый момент рассмотрения стрела занимает определённое место?

- Что ты всё мудришь; посмотри на колесо своего жигулёнка и ты увидишь, как появляется окружность; а если ты можешь это ещё и начертить, то есть представить в виде точек, линий, фигур, то значит, это относится к геометрии!

- То есть правило просто: всё, что можно себе геометрически представить, является элементом геометрии. Например, я представляю, как плоскость этого стола продолжается во все стороны сколько возможно далеко и, соответственно, я должен именно таким образом мыслить плоскость, далее, точно так же, я представляю, как пространство этого кафе лишается стен и продолжается во все возможные стороны максимально далеко, поэтому именно так я должен мыслить евклидово, то есть 3х мерное пространство?

- А что, не так?

- Современная физика говорит мне, что не так: пространство «искривлено» материей, а никакое представление мне это не показывает: вот стойка бара, она нисколько не искривляет моё восприятие пространства. Философы полагают, что пустого (аморфного) пространства не существует, оно заполнено и, следовательно, не может быть однородным и пр.; может быть, геометрия не изучает какое-то существующее пространство, а сама формирует его, и, в зависимости от того, какое пространство сформируется вместе с её усилием, осваивает его как наличное, то есть человек сам участвует в формировании пространства, в котором он сам же себя и находит, и к которому ему приходится адаптироваться как пространству своей жизни?

- Ну вот, как обычно: ты начал с придирок к науке по пустякам, а закончил тем, что вообще сделал её виновной в том, как устроен мир.

- Но как я могу доверять истине, что дважды два четыре, если наука не знает, что такое число? Вот на плакате при въезде в область, где мой дом, написано, что в этом году в сельское хозяйство области вложено 800 миллионов рублей, но вокруг моего дома не осталось ни одной фермы и ни одного вспаханного поля, чему мне доверять? Какому числу верить: написанному в ведомости и идущему в бюджет, или сумме номинала банкнот в моём кармане? Чему верить: тому, что молоко в пакете из цельного молока, или тому, что срок его годности до декабря, а на дворе июнь? И т.д. Поэтому я охотно верю, что в этом мире существуют и отрицательные, и иррациональные, и трансцендентные, и мнимые, и какие угодно ещё числа и построения, только они не имеют никакого отношения к тому, что интересно мне.

- Да ты, брат, считаешь себя особым, а мы плевки под ногами.

- Раз уже ты вспомнил Венечку, друг, то я пукаю так же, как все математики, только не считаю это очевидное и наглядное тем, в соответствии с чем я должен мыслить.

Манифестируя очевидность окружности Евклида колёсами своего жигуля (на самом деле он не мой), я раздумывал над тем, а почему математика не может нести на себе все те особенности нашего времени, которые несёт всё остальное: наука, общество, экономика, политика, культура и пр.? Как раз самым уважительным отношением к математике является понимание её как действительного элемента современного общества, со всеми его плюсами и минусами; так что прояснение этого может послужить ей хорошую службу, если, конечно, кто-то этим озаботится.



Вернуться к обычной версии статьи